Видный политический и общественный деятель своего времени Акпер ага Шейхульисламов родился в 1891 году в Иреване. Среднее образование он получил в Иреванской гимназии. В 1912 году поступил в Петербургский институт инженеров путей сообщения. После февральской революции 1917 года в России он вернулся на родину в качестве специалиста с высшим образованием. В феврале 1918 года А. Шейхульисламов был избран членом Закавказского сейма. Он был членом партии «Гуммет», входившей в состав мусульманской фракции, утвержденной Сеймом 28 февраля того же года. А. Шейхульисламов входил в состав делегации Закавказского сейма, созданной 1 марта 1918 года для ведения мирных переговоров с Турцией. Он также исполнял обязанности заместителя министра внутренних дел Закавказского правительства.

А. Шейхульисламов был одним из тех, кто 28 мая 1918 года подписал Декларацию государственной независимости Азербайджана. В первом правительственном кабинете, сформированном Фатали ханом Хойским, он занял пост министра земледелия и труда. А. Шейхульисламов был избран членом Парламента Азербайджана, открытие которого состоялось в Баку 7 декабря 1918 года. В парламенте он вошел в состав социалистической фракции. На церемонии открытия парламента А. Шейхульисламов от имени своей фракции выступил с пламенной речью. Он вошел в состав возглавляемой видным политическим и общественным деятелем Алимардан беком Топчибашевым делегации Азербайджанской Республики, которая отбыла в Париж для участия в Версальской (Парижской) мирной конференции 1919 года. После потери независимости Азербайджана в апреле 1920 года он остался в Париже.

В 20-х годах Акпер ага Шейхульисламов был членом II Интернационала от Азербайджана. Его статья «Как строился Азербайджан», опубликованная во втором номере русскоязычного журнала «Азербайджан», который издавался в Париже до Второй мировой войны, до сих пор не потеряла своей актуальности.

Акпер ага Шейхульисламов скончался 2 марта 1961 года и был похоронен на мусульманском кладбище близ Парижа.